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2018年许瑞公开课《连续函数的凸性》
2020-10-23 信息来源:

连续函数的凸性

执教教师:许瑞

执教班级:高一3

执教时间:2018.12.26 下午120

执教地点:教学楼105

教材分析:本节课的教学内容属于拓展内容,虽然凸性在教材中并没有相应的章节但是它的研究方法来源于教材第三章函数的基本性质;研究对象来源于教材第四章幂函数、指数函数和对数函数;判定方法来源于第二章不等式.

学情分析:在第四章节学习完毕后,学生对于幂函数、指数函数和对数函数图像的凸性有了较为朴素的直观感受。本节课就是针对这种直观感受进行提炼,模仿第三章对函数基本性质的研究来研究连续函数的凸性。通过类似的研究过程,使得学生体会如何进行数学抽象和逻辑推理。从图像语言到数学符号语言的表达转化,体会到均值不等式背后的几何特征

教学目标:1.知道函数凸性的图像特征.

2.理解用符号语言表达函数的凸性.

3.掌握利用均值不等式对部分函数凸性的证明.

教学重难点:函数凸性的判断与证明

教学过程

(1)导入

 在绘制连续函数图像的时候,仅知道函数的单调性,即函数是上升还是下降是不够的,还需要知道函数曲线的“弯曲方向”,曲线的弯曲方向也是函数的基本性质之一,我们把这种性质叫做函数的凹凸性(本课中称为“上凸性”和“下凸性”).

(2)定义研究

要刻画连续函数图像上任意弧线段位于所张弦的下方或上方是很困难的,我们可以先考虑一个弱一点的“中点凸”,引导学生得到“中点凸”的判别不等式后,经端点取值的任意性探究得到结论:“中点凸”足以确保连续函数在区间上的凸性,即连续的中点凸函数一定是凸函数.因此“中点凸”的判别不等式可作为连续函数凸性的定义式.

 

 

 


设连续函数 的定义域为 ,区间 ,如果对于区间 内的任意两个自变量值 ,当 ,都有 ,那么称函数 在区间 上是(严格的)上凸函数;都有 ,那么称函数 在区间 上是(严格的)下凸函数.

(3)凸性的证明

完成函数 下凸性的证明.

完成函数 上凸性的证明.

(选用)(4)运用均值不等式证明函数的凸性

完成利用不等式 对函数 凸性的证明.

完成利用不等式 对函数 的凸性的证明.

(选用)(5)小结与反思

由前面的结论我们容易发现幂、指、对函数在区间 上的凸性似乎总与一个均值不等式关联,因此我们可以根据所知道的均值不等式来证明函数的凸性或者在“承认”已知图像的函数的凸性的基础上继续探究出更多的均值不等式来.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


(6)作业

校本作业相应部分

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